Métodos de estudio de la asintótica de ceros de funciones especiales

En esta tesis se estudian varios métodos de obtención de la distribución asintótica débil de ceros de las soluciones de ciertas familias uniparamétricas de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Concretamente, de aquellas familias cuyos coeficientes son funciones polinómicas en la variable independiente y meromorfas en el parámetro. En el capítulo 1 se revisan varios de los métodos más populares que se utilizan para abordar el problema: método de descenso más rápido, método de Darboux, método basado en la ortogonalidad, método basado en la aproximación WKB, método basado en la transformada del Stieltjes, etc. Y se realiza una breve comparativa entre ellos. En el capítulo 2, usando el método basado en la aproximación WKB, se determina el reescalamiento (que a veces será necesario realizar) y la distribución asintótica de los ceros reales de las soluciones de ecuaciones diferenciales holonómicas, para ello se utiliza tan sólo los coeficientes de las ecuación diferencial. Además, se ilustra con importantes ejemplos: polinomios clásicos cuyos parámetros variantes toman valores clásicos y no clásicos, polinomios de Heine-Stieltjes, etc. En el capítulo 3, utilizando métodos basados en la teoría del potencial, se determina la distribución asintótica de ceros reales y complejos de las familias de polinomios: Jacobi, Laguerre y Bessel cuyos parámetros varían en dependencia de su grado. Para ello, se utiliza cierta propiedad de ortogonalidad no hermitiana que dichos familias de polinomios verifican. El capítulo 4 contiene los algoritmos que se derivan de los resultados constructivos obtenidos en los capítulos anteriores y los programas simbólicos correspondientes. Por último, la tesis contiene dos apéndices: en el apéndice A se incluyen los listados (en lenguaje de programación Mathematica) de los programas simbólicos considerados en el capítulo 4 y en el apéndice B se muestran los resultados obtenidos al calcular de manera automática (utilizando dichos programas) la asintótica de ceros de varias familias de funciones especiales.

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