Entropías, potenciales y linealización de polinomios hipergeométricos

Los métodos que se describen en los capítulos 2 y 3 permiten obtener en primer lugar los coeficientes de inversión, conexión y linealización de los polinomios hipergeométricos directamente en términos de los coeficientes funcionales que caracterizan la ecuación diferencial de tales polinomios. Además se dan las expresiones explícitas de los coeficientes para las tres familias clásicas con ortogonalidad real (Hermite, Laguerre, Jacobi) y el caso clásico de ortogonalidad compleja (Bessel). Este método tiene una característica interesante: los coeficientes son en general expresados en forma de series hipergeométricas terminantes, lo que permite a menudo su evaluación explícita por medio de teoremas de sumación clásicos, y facilita el estudio de sus propiedades de signo haciendo uso de las correspondientes propiedades de la función factorial desplazada. En segundo lugar, se obtienen los coeficientes de expansión de una amplia gama de funciones hipergeométricas en serie de polinomios de Laguerre variantes con parámetro dependiente linealmente del grado. El método usado se basa en la teoría clásica de funciones hipergeométricas generalizadas, que ya fue utilizado para el caso de polinomios con ortogonalidad estándar por otros autores. Aquí se muestra su utilidad para el caso de ortogonalidad variante. Los resultados presentados han permitido el hallazgo de una función generatriz (que generaliza ampliamente las funciones de Brown, así como la fórmula de conexión para los polinomios de Laguerre variantes {L_{n}^{(an+α)}(x)}. Además, para ilustrar la aplicabilidad de las fórmulas de conexión de polinomios variantes, se han resuelto los siguientes problemas de origen físico: (i) la conexión entre funciones de onda de tipo Morse de dos estados moleculares arbitrarios, (ii) el desarrollo de una función de onda Morse que describe un estado arbitrario molecular en términos de funciones de onda Pöschl-Teller, y (iii) la conexión entre funciones de onda de dos estados arbitrarios del átomo de hidrógeno. Estos tres problemas de conexión pertenecen a una amplia gama de desarrollos que conectan polinomios ortogonales variantes con argumentos no triviales (a veces reescalados), los cuales aparecen de forma natural en el estudio de sistemas atómicos, moleculares y nucleares. En general, el problema de conexión entre polinomios ortogonales variantes subyace en los problemas de conexión entre funciones de onda asociadas a una gran variedad de potenciales mecano-cuánticos. En los capítulos 4 y 5 se explora otra linea de investigación: se contribuye al cálculo de integrales entrópicas de funciones especiales: el potencial logarítmico y la entropía de información de polinomios ortogonales de Gegenbauer y de Laguerre. Hasta ahora sólo se conocía el valor exacto de las entropías de los polinomios de Chebyshev. Esto es tanto más importante cuanto que estos polinomios conforman la forma espacial de los sistemas mecano-cuánticos con potenciales centrales e independiente del tiempo. Hasta ahora se requería calcular previamente los ceros de los polinomios involucrados, cosa que no es deseable pues es un problema en general numéricamente mal condicionado. Empleando técnicas de análisis complejo hemos logrado expresar las entropías de los polinomios de Gegenbauer en función de los ceros de polinomios de grado fijo generados recursivamente. Este enfoque tiene la ventaja de la estabilidad numérica entre otras.

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