MATEMÁTICAS

Entropías de polinomios ortogonales

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Entropías de polinomios ortogonales

Dada una funci¶on peso positiva, w, soportada en un intervalo real, existe una unica sucesión (salvo diferentes normalizaciones) de polinomios pn de grado en tal que Z pn(x) pm(x) w(x) dx = ±n;m; y asociada a estos polinomios se define la entropía como En = ¡Z log(p2n(x)) p2n(x) w(x) dx: Este concepto resulta de gran importancia al estudiar algunos sistemas mecano-cuánticos como el átomo de hidrógeno o el oscilador armónico. Pero tambien es importante por su relación con la teoría del potencial logarítmico así como con la propia teoría de polinomios ortogonales. Sobre esta entropía se estudian basicamente dos tipos de problemas. El primero consiste en obtener los términos asintóticos de En cuando n 1. El segundo problema es el de obtener fórmulas explícitas para En o, ya que esto resulta casi imposible, obtener métodos para calcular o aproximar En. En el problema asintótico se obtiene el tercer término para la entropía de los polinómios de Gegenbauer de parámetro entero, siendo al parecer este el primer caso no trivial en el que se consigue la asint¶otica hasta tal t¶ermino en el caso de soporte acotado. Otra familia de polinomios interesante es la de los polinomios de Pollaczek, que no pertenecen a la clase de Szego y por tanto su entropía es asintóticamente divergente. Para estos polinomios se obtiene, en el caso simétrico con parámetro principal ¿ ¿ 1, la asintótica de En hasta el término o(1). En el problema de cálculo explícito se extienden unas fórmulas conocidas para la entropía de los polinomios de Gegenbauer de parámetro entero a la familia de polinomios de Jacobi para los parámetros (®; ¯) = (m ¡ 1=2;§1=2) con m entero positivo. También se da un método efectivo para el cálculo de la entropía de polinomios ortogonales en un intervalo acotado de la recta real que usa como únicos datos de entrada los coeficientes de la relación de recurrencia que satisfacen. Este algoritmo está basado en un representación en serie para la energía mutua de dos medidas de probabilidad conectadas de forma natural con los polinomios. Se estudia en detalle el caso particular de los polinomios de Gegenbauer. Estos resultados son aplicados también al cálculo de la entropía de las funciones esféricas armónicas, importantes para el estudio de las relaciones de incertidumbre, como en el caso de la parte espacial de las funciones de onda de sistemas mecano-cuánticos en potenciales centrales.

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