MATEMÁTICAS

Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

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Teoremas de tipo Krein-Milman y retracciones en espacios de Banach

El resultado más importante en relación con la estructura extremal de los conjuntos convexos es debido a Krein y Milman quienes mostraron que todo subconjunto convexo y compacto de cualquier espacio localmente convexo separado es la envolvente convexo-cerrada del conjunto de sus puntos extremos. La gran variedad de aplicaciones del teorema de Krein-Milman muestra el extraordinario interés que posee la obtención de teoremas de este tipo para subconjuntos convexos no necesariamente compactos de un espacio normado. En el primer capítulo se considera el espacio C(T,X) de las funciones continuas y acotadas definidas en un espacio topológico T y con valores en un espacio normado estrictamente convexo X. El propósito es analizar bajo qué condiciones los elementos de la bola unidad de C(T,X) pueden expresarse como media de dos puntos extremos. Los resultados son especialmente concluyentes si X es bidimensional. El grueso de la tesis se centra en el estudio de la estructura extremal de los espacios de funciones uniformemente continuas vectorialmente valuadas. La principal aportación en este contexto, enunciada en el cuarto capítulo, es un teorema de tipo Russo-Dye para el espacio U(M,X) de las funciones uniformemente continuas y acotadas definidas en un espacio métrico M y con valores en un espacio normado uniformemente convexo X de dimensión mayor o igual que dos (finita o infinita). El proceso que conduce a este resultado contiene nuevas contribuciones que deben ser mencionadas por su posible interés más allá del ámbito en el que se desarrolla la tesis. Por una parte, en el segundo capítulo, se obtiene una desigualdad válida en cualquier espacio normado de dimensión dos cuya formulación es lo bastante flexible como para aplicarse con éxito en dimensión infinita, a través de los subespacios bidi- mensionales. Ocupan un lugar igualmente relevante los resultados del tercer capítulo sobre aplicaciones uniformemente continuas entre esferas sin puntos fijos ni antípodas aproximados. Posteriormente, en el caso infinito-dimensional, se analiza la interacción entre la estructura extremal de los espacios U(M,X) y la teoría de retracciones de la bola sobre la esfera unidad de X. La tesis concluye con una incursión en la geometría de la bola unidad de los espacios de funciones continuas con respecto al diámetro del rango, en sustitución de la norma uniforme.

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